MINIMIZATION PROBLEMS INVOLVING NONLOCAL FUNCTIONALS: NONLOCAL MINIMAL SURFACES AND A FREE BOUNDARY PROBLEM

Abstract

Cette these de doctorat est consacree a l'analyse de quelques problemes de minimisation impliquant des fonctionnelles non locales. Nous nous interessons principalement au perimetre s-fractionnaire et a ses minimiseurs, les ensembles s-minimaux. Nous etudions le comportement des ensembles ayant perimetre fractionnaire fini et nous etablissons des resultats d'existence et de compacite pour les ensembles (localement) s-minimaux. Nous etudions les ensembles s-minimaux dans des regimes hautement non locaux, qui correspondent a des petites valeurs du parametre fractionnaire s. Nous introduisons un cadre fonctionnel pour etudier ces ensembles s-minimaux qui peuvent etre ecrits globalement en tant que sous-graphes. En particulier, nous prouvons des resultats d'existence et d'unicite pour les minimiseurs d'une version fractionnaire de la fonctionnelle d'aire classique et nous montrons l'equivalence entre les minimiseurs et diverses notions de solution de l'equation de courbure moyenne fractionnaire. Nous montrons un resultat de platitude pour des graphes minimaux non locaux entiers ayant des derives partielles majorees ou minorees. En outre, nous considerons un probleme a frontiere libre, qui consiste en la minimisation d'une fonctionnelle definie comme la somme d'une energie non locale, plus le perimetre classique. Concernant ce probleme, nous etablissons des estimations d'energie uniformes et nous etudions la suite de blow-up d'un minimiseur, en particulier, en prouvant une formule de monotonie de type Weiss. Dans le dernier chapitre de la these nous fournissons un modele mathematique simple, mais rigoureux, qui decrit la parade de manchots a Phillip Island