Maximal Sobolev regularity in Neumann problems for gradient systems in infinite dimensional domains

Abstract

Nous considerons une equation de Kolmogorov elliptique $\lambda u-Ku=f$ dans un sous-ensemble convexe $\mathcal{C}$ d’un espace de Hilbert separable $X$. L’operateur de Kolmogorov $K$ est une realisation de $u\mapsto\frac{1}{2}\operatorname{Tr} [D^{2}u(x)]+\langle Ax-DU(x),Du(x)\rangle$, ou $A$ est un operateur auto-adjoint dans $X$ et $U:X\mapsto\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ est une fonction convexe. Nous prouvons que pour $\lambda>0$ et $f\in L^{2}(\mathcal{C},\nu)$ la solution faible $u$ appartient a l’espace de Sobolev $W^{2,2}(\mathcal{C},\nu)$, ou $\nu$ est la mesure log-concave associee au systeme. Nous prouvons aussi des estimations maximales sur le gradient de $u$ qui permettent de montrer que $u$ satisfait des conditions au bord de Neumann au sens des traces a la frontiere de $\mathcal{C}$. Les resultats generaux sont appliques aux equations de reaction–diffusion de Kolmogorov et a l’equation de Cahn–Hilliard stochastique dans des ensembles convexes d’espaces de Hilbert appropries.