Maximal displacement for bridges of random walks in a random environment

Abstract

Il est bien connu que la distribution d’une marche aléatoire simple sur ℤ, conditionée à retourner à l’origine au temps 2n est indépendante de p=P(S1=1), la probabilité d’un pas vers la droite. De plus, conditionellement à {S2n=0}, le déplacement maximum maxk≤2n|Sk|, divisé par √n, converge en distribution. Nous considérons le mème problème pour les marches transientes en environnement aléatoire sur ℤ. Nous montrons que sous la loi “quenched,” le déplacement maximum pour la marche conditionnée à retourner à l’origine au temps 2n n’est pas toujours de l’ordre de √n. Si l’environement a des drifts locaux positifs et negatifs alors cet ordre de grandeur est nκ/(κ+1), où κ>0 dépend de la loi de l’environement. Mais, si l’environement n’a que des drifts locaux positifs ou nuls, alors cet ordre de grandeur est proche de n. Les preuves fournissent de plus l’ordre de grandeur de Pω(X2n=0). Dans le cas où les drifts locaux sont tous positifs nous montrons que Pω(X2n=0)=exp{−Cn−C'n/(ln n)2+o(n/(ln n)2)}.