Invariant and Coinvariant Spaces for the Algebra of Symmetric Polynomials in Non-Commuting Variables

Abstract

We analyze the structure of the algebra $\mathbb{K}\langle\mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ of symmetric polynomials in non-commuting variables in so far as it relates to $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$, its commutative counterpart. Using the "place-action" of the symmetric group, we are able to realize the latter as the invariant polynomials inside the former. We discover a tensor product decomposition of $\mathbb{K}\langle\mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ analogous to the classical theorems of Chevalley, Shephard-Todd on finite reflection groups. Résumé. Nous analysons la structure de l'algèbre $\mathbb{K}\langle\mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ des polynômes symétriques en des variables non-commutatives pour obtenir des analogues des résultats classiques concernant la structure de l'anneau $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$ des polynômes symétriques en des variables commutatives. Plus précisément, au moyen de "l'action par positions", on réalise $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$ comme sous-module de $\mathbb{K}\langle\mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$. On découvre alors une nouvelle décomposition de $\mathbb{K}\langle\mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ comme produit tensorial, obtenant ainsi un analogues des théorèmes classiques de Chevalley et Shephard-Todd.