Abstract
In the present, article new methods of exact integration of mixed-type stochastic differential equations with standard Brownian motion, fractional Brownian motion with the Hurst exponent H> 1/2 and the drift term have been constructed. Solutions of these equations are understood in integral sense where, in turn, the standard Brownian motion integral is the Ito integral and the fractional Brownian motion integral is the pathwise Young integral. The constucted integration methods can be attributed to two types. The first-type methods are based on reducing the equations to simpler equations, in particular – to the simplest equations and the linear inhomogeneous equations. In the article, necessary and sufficient conditions of reducing the equations applicable to one-dimensional equations have been obtained and the examples particularly covering the stochastic Bernoulli-type equations have been given. The second-type method is based on going to the Stratonovich equation and is applicable to multidimensional equations. In addition to the mentioned integration methods, the analogues of the differential Kolmogorov equation have been obtained for mathematical expectations and the solution probability density, assuming that coefficients of the mixed-type stochastic differential equation generate commuting flows.
Highlights
Подставим выражение для функцииОбозначим A(x) = f (x) − g′(x) и продифференцируем последнее соотношение
In the present, article new methods of exact integration of mixed-type stochastic differential equations with standard Brownian motion, fractional Brownian motion with the Hurst exponent H > 1/2 and the drift term have been constructed
Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion / J
Summary
Обозначим A(x) = f (x) − g′(x) и продифференцируем последнее соотношение. Тогда положим α2 = β2 = γ2 = 0, β1 = –c1, γ1 = c2β1 и выберем преобразование = F (x) eβ1G(x). Уравнение (12) c g(x) ≠ 0, A′(x) ≠ 0 приводимо к уравнению (13) тогда и только тогда, когда найдутся постоянные c1, c2 такие, что оказываются выполненными соотношения (19), (20), (21). Уравнение бернуллиевского типа ( ) dx(t) = αxn (t) + βx(t) dt + γx(t)dW (t) + δx(t)dB(t) приводится к линейному неоднородному уравнению. Исходное уравнение сводится к следующему линейному неоднородному уравнению: dy= (t). Вообще говоря, не являются семимартингалами, то понятие интеграла Стратоновича требует дополнительных разъяснений. Следуя [15], для непрерывных процессов X(t), Y(t) c конечной квадратической вариацией определим прямой, обратный и симметрический стохастические интегралы:. Квадратической ковариацией процессов X, Y называется процесс [ X ,Y ](t)= ∫0tY (s)d + X (s) − ∫0tY (s)d − X (s)
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
