Аналiтичнi властивостi траекторiй деяких випадкових процесiв

I V Rozora

doi:10.17721/1812-5409.2020/4.1

Abstract

The study of the analytical properties of random processes and their functionals, without a doubt, was and remains the relevant topic of the theory of random processes. The first result from which the study of the local properties of random processes began is Kolmogorov’s theorem on sample continuity with probability one. The classic result for Gaussian random processes is Dudley’s theorem. This paper is devoted to the study of local properties of sample paths of random processes that can be represented as a sum of squares of Gaussian random processes. Such processes are called square-Gaussian. We investigate the sufficient conditions of sample continuity with probability 1 for square-Gaussian processes based on the convergence of entropy Dudley type integrals. The estimation of the distribution of the continuity module is studied for square-Gaussian random processes. It is considered in detail an example with an estimator (correlogram) of the covariance function of a Gaussian stationary random process. The conditions on continuity of correlogram’s trajectories with probability one are found and the distribution of the continuity module is also estimated.

Highlights

This paper is devoted to the study of local properties of sample paths of random processes that can be represented as a sum of squares of Gaussian random processes
We investigate the sufficient conditions of sample continuity with probability 1 for square-Gaussian processes based on the convergence of entropy Dudley type integrals
The estimation of the distribution of the continuity module is studied for square-Gaussian random processes

Summary

Аналiтичнi властивостi траєкторiй деяких випадкових процесiв

[3] ) надає достатнi умови вибiркової неперервностi L2(Ω)випадкових процесiв. Траєкторiї цього процесу з ймовiрнiстю одиниця будуть неперервними, якщо iснують невiд’ємнi монотонно неспаднi функцiї g(h), q(c, h), h > 0 такi, що Класичним результатом для гауссових випадкових процесiв є теорема Дадлi [1], яка стверджує, що траєкторiї гауссового процесу X(t), t ∈ T, є майже напевно (рiвномiрно) неперервнi, якщо збiгається ентропiйний iнтеграл Дадлi:. В даному роздiлi розглядаються означення та деякi властивостi квадратично-гауссових випадкових величин i процесiв. [4] знайдено умови рiвномiрної вибiркової неперервностi з iмовiрнiстю 1 для квадратичнно-гауссових випадкових процесiв. Нехай X(t) = {X(t), t ∈ T = [a, b]} – сепарабельний квадратично-гауссовий випадковий процес, для якого виконується умова sup (Var (X(t) − X(s))) 2. Тодi процес X(t) є вибiрково неперервним з ймовiрнiстю одиниця та для довiльних ε > 0 i x > 0 має мiсце така оцiнка

Kln αα

Тодi маємо