How round are the complementary components of planar Brownian motion?

Abstract

Soit $W$ un mouvement brownien dans $\mathbf{C}$ issu de $0$. Soit $A(1),A(2),\ldots$ les composantes connexes bornees de $\mathbf{C}\setminus W([0,1])$. Soit $R(i)$ (resp. $r(i)$) le rayon exterieur (resp. le rayon interieur) de $A(i)$, pour $i\in\mathbf{N}$. Notre resultat principal est que $\mathbf{E}[\sum_{i}R(i)^{2}|\log R(i)|^{\theta}]<\infty$ pour tout $\theta<1$. Nous montrons aussi que $\sum_{i}r(i)^{2}|\log r(i)|]=\infty$ presque surement. Ces resultats peuvent s’interpreter comme le fait que la plupart des composantes $A(i)$ ont une forme assez reguliere, ou ronde.