Higher order Cheeger inequalities for Steklov eigenvalues

Abstract

We prove a lower bound for the k-th Steklov eigenvalues in terms of an isoperimetric constant called the k-th Cheeger-Steklov constant in three different situations: finite spaces, measurable spaces, and Riemannian manifolds. These lower bounds can be considered as higher order Cheeger type inequalities for the Steklov eigenvalues. In particular it extends the Cheeger type inequality for the first nonzero Steklov eigenvalue previously studied by Escobar in 1997 and by Jammes in 2015 to higher order Steklov eigenvalues. The technique we develop to get this lower bound is based on considering a family of accelerated Markov operators in the finite and measurable situations and of mass concentration deformations of the Laplace-Beltrami operator in the manifold setting which converges uniformly to the Steklov operator. As an intermediary step in the proof of the higher order Cheeger type inequality, we define the Dirichlet-Steklov connectivity spectrum and show that the Dirichlet connectivity spectra of this family of operators converges to (or is bounded by) the Dirichlet-Steklov spectrum uniformly. Moreover, we obtain bounds for the Steklov eigenvalues in terms of its Dirichlet-Steklov connectivity spectrum which is interesting in its own right and is more robust than the higher order Cheeger type inequalities. The Dirichlet-Steklov spectrum is closely related to the Cheeger-Steklov constants. Resume Pour tout k P N, une borne inferieure pour la k-ieme valeur propre de Steklov en termes d'une constante isoperimetrique, appelee la k-ieme constante de Cheeger-Steklov, est obtenue dans trois situations differentes : espaces finis, espaces mesurables et varietes riemanniennes. Ces bornes inferieures peuvent etre considerees comme des inegalites de type Cheeger d'ordre superieur pour les valeurs propres de Steklov. En particulier, elles etendent l'inegalite de type Cheeger pour la premi ere valeur propre non nulle de Steklov etudiee par Escobar en 1997 et par Jammes en 2015. La technique developpee pour obtenir ces bornes inferieure utilise une famille d'operateurs de Markov acceleres dans les situations finies et mesurables et une famille d'operateurs de Laplace-Beltrami deformes et concentres pres de lafronti ere. Lors d'une etape intermediaire de la preuve de l'inegalite de type Cheeger d'ordre superieur, nous definissons le spectre de connectivite de Dirichlet-Steklov et nous montrons que les spectres de connectivite de Dirichlet de cette famille d'operateurs convergent uniformement vers (ou sont bornes par) le spectre de Dirichlet-Steklov. De plus, nous obtenons des bornes pour les valeurs propres de Steklov en termes du spectre de connectivite de Dirichlet-Steklov, ce dernier etant interessant en lui-meme. Il est aussi plus robuste que les inegalites de type Cheeger d'ordre superieur. Le spectre de Dirichlet-Steklov et les constantes de Cheeger-Steklov sont etroitement lies.