Hierarchical Schrödinger Operators with Singular Potentials

Abstract

Рассматривается оператор $H=L+V$, который представляет собой возмущение оператора Тейблсона-Владимирова $L=\mathfrak {D}^\alpha $ с помощью потенциала $V(x)=b\|x\|^{-\alpha }$, где $\alpha >0$ и $b\geq b_*$. Доказано, что оператор $H$ замыкаем и его минимальное замыкание является неотрицательно определенным самосопряженным оператором (при этом критическое значение $b_*$ зависит от $\alpha $). Хотя оператор $H$ неотрицательно определен, потенциал $V(x)$ может принимать отрицательные значения, например, при $b_*<0$ для всех $0<\alpha <1$. Для уравнения $Hu=v$ существует функция Грина $g_H(x,y)$ - интегральное ядро оператора $H^{-1}$. Получены точные нижняя и верхняя оценки отношения функций Грина $g_H(x,y)$ и $g_L(x,y)$.