Hermitian Metric and the Infinite Dihedral Group

Abstract

Для набора $A=(A_1,A_2,…,A_n)$ элементов унитальной банаховой алгебры $\mathcal B$ рассматривается ассоциированный с ним многопараметрический пучок $A(z)=z_1 A_1 + z_2 A_2 + …+z_n A_n$. Проективным спектром $P(A)$ этого набора называется множество точек $z\in \mathbb C^n$, для которых элемент $A(z)$ необратим. С помощью фундаментальной формы $\Omega _A=-\omega _A^*\wedge \omega _A$, где $\omega _A(z) = A^{-1}(z) dA(z)$ - форма Маурера-Картана, Р. Дуглас и Р. Янг определили и исследовали естественную эрмитову метрику на резольвентном множестве $P^c(A)=\mathbb{C}^n\setminus P(A)$. В настоящей работе данная метрика изучается в случае бесконечной диэдральной группы $D_\infty = \langle a,t\mid a^2=t^2 =1\rangle $ относительно левого регулярного представления $\lambda $. Для неоднородного пучка $R(z) = I+z_1\lambda (a)+z_2\lambda (t)$ метрика на $P^c(R)$ вычислена в явном виде и показано, что пополнение множества $P^c(R)$ относительно этой метрики есть $\mathbb{C}^2\setminus \{(\pm 1,0), (0,\pm 1)\}$. Исключительные точки $(\pm 1,0)$, $(0,\pm 1)$ соответствуют классическому спектру $\sigma (\lambda (a))=\sigma (\lambda (t))=\{\pm 1\}$. Настоящая работа является продолжением исследований Р. Дугласа, Р. Янга (2018) и Р.И. Григорчука, Р. Янга (2017).