Geometric versus non-geometric rough paths

Abstract

Dans cet article, nous considerons des equations differentielles conduites par des trajectoires rugueuses non-geometriques en utilisant le concept de trajectoire rugueuse ramifiee introduit dans (J. Differential Equations 248 (2010) 693–721). Nous montrons d’abord que celles-ci peuvent etre definies de maniere equivalente comme une fonction $\gamma$-Holderienne a valeurs dans un certain groupe de Lie, comme c’est le cas pour les trajectoires rugueuses dites « geometriques » . Nous montrons ensuite que toute trajectoire rugueuse ramifiee peut etre encodee par une trajectoire rugueuse geometrique. Plus precisement, pour toute trajectoire rugueuse ramifiee $\mathbf{X}$ definie au-dessus d’une trajectoire $X$, il existe une trajectoire rugueuse geometrique $\bar{\mathbf{X}}$ definie au-dessus d’une trajectoire etendue $\bar{X}$, de maniere a ce que $\bar{\mathbf{X}}$ contienne toute l’information de $\mathbf{X}$. Il en suit que toute equation differentielle conduite par $\mathbf{X}$ peut etre reformulee comme une equation differentielle modifiee conduite par $\bar{\mathbf{X}}$. On peut interpreter ceci comme une generalisation de la formule de correction Ito–Stratonovich.