GENERAL SOLUTIONS OF NON-STATIONARY COPLED PROBLEMS OF THERMOELASTICITY AND THERMAL CONDUCTIVITY IN HETEROGENEOUS MEDIA ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ СВЯЗНЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ И ТЕПЛООБМЕНА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Abstract

We consider the non-stationary problem of gradient thermoelasticity and thermal conductivity, constructed using gradient models of the elasticity, in which additional elastic moduli are represented as a convolution of the fourth rank tensors. The presented model allows us to take into account both the surface effects of thermal resistance due to an additional parameter in non-classical boundary conditions, and gradient and connectivity effects, which can be significant when modeling inhomogeneous media with interphase boundaries. It is shown that the model under consideration is reduced to a system of gradient wave equations about temperature and volume and shear potentials of the displacements with contact conditions at the interfaces expressed through the correspondent classical and cohesive fields. In the case of harmonic oscillations (or, what is the same, for the formant of the Fourier transformation), a general solution of these coupled equations is obtained through the four independent potentials satisfying Helmholtz equation with scale parameters treated as squared wave numbers of coupled gradient thermoelasticity and thermal conductivity. To find these parameters, a matrix iterative algorithm has been developed, based on solving a 2x2 matrix quadratic equation and finding its eigenvalues and vectors. In fact, this algorithm is a method for solving of a fourth-order dispersion equation corresponding to the considered coupled gradient model. It is shown that for different connectivity parameters in the solution, both exponential and oscillatory solutions are possible, which corresponded to different eigenvalues of 2x2 matrices (positive, negative or complex-valued). For the one-dimensional problem in layered periodic structure an analytical solution is given. On the basis of this solution the effective thermomechanical characteristics of a layered medium are determined using the asymptotic homogenization method. Рассматривается нестационарная проблема градиентной термоупругости и теплопроводности, построенная с привлечением градиентных моделей теории упругости, в которых дополнительные модули упругости представляются в виде свертки тензоров четвертого ранга. Представленная модель, являясь достаточно общей, позволяет учесть и поверхностные эффекты термо-сопротивления за счет дополнительного параметра в неклассических краевых условиях, и градиентные эффекты и эффекты связности, которые могут оказаться существенными при моделировании неоднородных сред с межфазными границами. Показано, что рассматриваемая модель сводится к системе градиентных волновых уравнений относительно температуры и объемных и сдвиговых потенциалов соответствующих волн с контактными условиями на межфазных границах, выраженными через классические и когезионные поля температуры и перемещений. В случае гармонических колебаний (или, что тоже самое, для форманты преобразования Фурье) получено общее решение этих связанных уравнений через четыре независимых потенциала, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца с масштабными параметрами, трактуемыми как квадраты волновых чисел, соответствующих рассматриваемой модели связной градиентной термоупругости и теплообмена. Для нахождения этих параметров разработан матричный итерационный алгоритм, основанный на решении 2x2 матричного квадратного уравнения и нахождении его собственных значений и векторов. Фактически, этот алгоритм является методом решения дисперсного уравнения четвертого порядка, соответствующего рассматриваемой связной градиентной модели. Показано, что при разных вариантах связности в решении возможны как экспоненциальные, так и осциллятивные решения, соответствующие разным собственным значениям 2x2 матриц (положительным, отрицательным или комплекснозначным). Для одномерного случая, соответствующего слоистому стержню периодической структуры, дано аналитическое решение, на основе которого определяются эффективные термомеханические характеристики такой слоистой среды методом асимптотического усреднения.