Fractional Hamiltonian systems with locally defined potentials

Abstract

Изучаются решения следующей непериодической гамильтоновой системы дробного порядка $\alpha\in(1/2,1]$: \begin{equation*} - _{t}D^{\alpha}_{\infty}( _\infty D^\alpha_{t}x(t))-L(t)x(t)+\nabla W(t,x(t))=0,\qquad x\in H^\alpha(\mathbb{R},\mathbb{R}^N), \end{equation*} где матрица $L(t)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^{N^2})$, $t\in\mathbb{R}$, а $ _{-\infty}D^{\alpha}_{t}$ и $ _tD_\infty^{\alpha}{\infty}$ - левая и правая дробные производные Лиувилля-Вейля порядка $\alpha$ на всей оси $\mathbb{R}$. C помощью симметричной теоремы о горном переходе доказано существование бесконечного числа решений системы в случае, когда матрица $L(t)$ не обязательно является коэрцитивной или равномерно положительно определенной, а потенциал $W(t,x)$ задан только локально в окрестности начала координат $x=0$. Доказанные теоремы значительно обобщают и улучшают ранее полученные результаты. Также приведены некоторые иллюстративные примеры.