Formal Bott-Thurston Cocycle and Part of a Formal Riemann-Roch Theorem

Abstract

Коцикл Ботта-Тeрстона - это $2$-коцикл на группе сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности. Вводится и изучается формальный аналог коцикла Ботта-Тeрстона. Формальный коцикл Ботта-Тeрстона - это $2$-коцикл на группе непрерывных $A$-автоморфизмов алгебры $A((t))$ рядов Лорана над коммутативным кольцом $A$ со значениями в группе $A^*$ обратимых элементов кольца $A$. Доказывается, что центральное расширение, заданное формальным коциклом Ботта-Тeрстона, эквивалентно 12-кратной сумме Бэра детерминантного центрального расширения, если $A$ является $\mathbb Q$-алгеброй. В качестве следствия этого результата доказывается часть новой формальной теоремы Римана-Роха. Эта теорема Римана-Роха применяется к окольцованному пространству на отделимой схеме $S$ над полем $\mathbb Q$, где структурный пучок окольцованного пространства локально на схеме $S$ изоморфен пучку $\mathcal O_S((t))$ и склеивающие автоморфизмы непрерывны. Локально на схеме $S$ это окольцованное пространство соответствует проколотой формальной окрестности сечения гладкого морфизма в $U$ относительной размерности $1$, где $U \subset S$ - открытое подмножество.