Expansion of hypergeometric functions in terms of polylogarithms with a nontrivial change of variables

Abstract

Гипергеометрические функции одной и многих переменных играют важную роль в различных областях современных физики и математики. Одной из наиболее часто встречающихся задач является задача разложения гипергеометрических функций, индексы которых линейно зависят от некоторого малого параметра, в ряд Лорана по данному параметру. При этом желательно, чтобы получающийся ряд выражался в терминах хорошо изученных функций, вычисление которых можно проводить с любой наперед заданной точностью. Для решения данной задачи удобно использовать метод дифференциальных уравнений и редукцию соответствующей дифференциальной системы к каноническому базису. Нами рассмотрены случаи разложения обобщенных гипергеометрических функций одной переменной, функций Аппеля и Лауричеллы в терминах обобщенных полилогарифмов Гончарова. Особое внимание уделено случаю рациональных индексов рассматриваемых гипергеометрических функций и использованию нетривиальных замен переменных при редукции дифференциальных систем к каноническому базису. Предлагаемые алгоритмические процедуры разложений реализованы в качестве пакета Diogenes в системе символьных вычислений Mathematica.