Exact boundaries for the analytical approximate solution of a class of first-order nonlinear differential equations in the real domain

Abstract

Дано решение одной из задач аналитического приближенного метода для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с подвижными особыми точками в вещественной области. Рассматриваемое уравнение в общем случае не разрешимо в квадратурах и имеет подвижные особые точки алгебраического типа. Это обстоятельство требует решение ряда математических задач. Ранее авторами была решена задача влияния возмущения подвижной особой точки на аналитическое приближенное решение. Это решение основывалось на классическом подходе и, при этом, существенно уменьшилась область применения аналитического приближенного решения, по сравнению с областью, полученной в доказанной теореме существования и единственности решения. Поэтому в статье предлагается новая технология исследования, основанная на элементах дифференциального исчисления. Этот подход позволяет получить точные границы для аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки. Получены новые априорные оценки для аналитического приближенного решения рассматриваемого класса уравнений, хорошо согласующиеся с известными для общей области действия. При этом, представленные результаты дополняют ранее полученные, существенно расширена область применения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки. Приведенные расчеты согласуются с теоретическими положениями, о чем свидетельствуют эксперименты, проведенные с нелинейным дифференциальным уравнением, обладающим точным решением. Дана технология оптимизации априорных оценок погрешности с помощью апостериорных оценок. В исследованиях применялись ряды с дробными отрицательными степенями.