Abstract
The problem of restoring a (pseudo)Riemannian manifold from a given Ricci operator was studied in the papers of many mathematicians. This problem was solved by O. Kowalski and S. Nikcevic for the case of three-dimensional locally homogeneous Riemannian manifolds. The work of G. Calvaruso and O. Kowalski contains the answer to the question above for the case of three –dimensional locally homogeneous Lorentzian manifolds.
 For the four-dimensional case, similar studies were carried out only in the case of Lie groups with a left-invariant Riemannian metric. The works of A.G. Kremlyov and Yu.G. Nikonorov presented the possible signatures of the eigenvalues of the Ricci operator. However, the question of recovering a four-dimensional Lie group with a left-invariant Riemannian metric from a given Ricci operator remains open.
 This paper is devoted to the study of the eigenvalues of the Ricci operator on four-dimensional locally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds with a four-dimensional isotropy subgroup. An algorithm for calculating the eigenvalues of the Ricci operator is presented. A theorem on the restoration of such manifolds from a given Ricci operator is proved. It is established that such possibility can happen only in the case when the prescribed operator is diagonalizable and has a unique eigenvalue of multiplicity four.
Highlights
МчанлоВсгяооповбррорасазбиооятапвхоомсзсантдоаагннионхволммеа12унBAтиоeеltиlмпaaеаriрuтS(аsипtaiтксatоеоenрввUSуд.tnоaДР)itvриeаeичнUrмчнsniиааtiyяvниeо(ззrBвуаsaаi--tryn(aMuminli,anRtnTshuikhfes,oesBlpidaepa)lrpaforrebourmlsse)moaf of restoring aRiemannian given Ricci operator was studied many mathematicians
Тогда оператор ρ для каждого возможного случая имеет диагональный вид
Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Известия АлтГУ
Summary
МчанлоВсгяооповбррорасазбиооятапвхоомсзсантдоаагннионхволммеа12унBAтиоeеltиlмпaaеаriрuтS(аsипtaiтксatоеоenрввUSуд.tnоaДР)itvриeаeичнUrмчнsniиааtiyяvниeо(ззrBвуаsaаi--tryn(aMuminli,anRtnTshuikhfes,oesBlpidaepa)lrpaforrebourmlsse)moaf of restoring a (pseudo)Riemannian given Ricci operator was studied many mathematicians В случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой им были найдены возможные сигнатуры оператора Риччи. Что подобные результаты для операторов одномерной и секционной кривизны на трехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразиях были получены в работах [8,9,10,11]. Перечислим номера всех четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с четырехмерной подгруппой изотропии, которые приведены в данной классификации: 4.11.1, 4.12.1, 4.21.1, 4.21.2, 4.22.1, 4.22.2, 4.22.3, 4.23.1, 4.23.2, 4.31.1, 4.31.2. Позволяющую вычислять компоненты оператора Риччи ρ на локально однородных (псевдо)римановых многообразиях с нетривиальной подгруппой изотропии (см., например, [14]).
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have