Distribution density of the first exit point of a two-dimensional diffusion process from a circle neighborhood of its initial point: the inhomogeneous case

Abstract

Рассматривается двумерный диффузионный процесс. Распределение точки первого выхода такого процесса из произвольной области его значений как функция от начальной точки процесса определяется эллиптическим дифференциальным уравнением второго порядка и соответствует решению задачи Дирихле этого уравнения (случай непостоянных коэффициентов). Исследуется плотность распределения точки первого выхода процесса из малой круговой окрестности его начальной точки и ее связь с задачей Дирихле. В терминах этой асимптотики доказаны две теоремы. Первая теорема о достаточных и вторая теорема о необходимых условиях того, что распределение точки первого выхода как функция от начальной точки процесса удовлетворяет частному виду эллиптического дифференциального уравнения второго порядка, которое соответствует стандартному винеровскому процессу со сносом и обрывом. Определены устранимые члены второго порядка разложения по степеням радиуса малой круговой окрестности начальной точки процесса. В терминах устранимых членов эти две теоремы превращены в одну теорему о необходимом и достаточном условии соответствия этому винеровскому процессу.