Diophantine approximation with the constant right-hand side of inequalities on short intervals

V I Bernik,E V Zasimovich,D V Vasilyev

doi:10.29235/1561-8323-2021-65-4-397-403

Abstract

In the metric theory of Diophantine approximations, one of the main problems leading to exact characteristics in the classifications of Mahler and Koksma is to estimate the Lebesgue measure of the points x ∈ B ⊂ I from the interval I such as the inequality | P (x) | < Q-w, w > n, Q >1 for the polynomials P(x) ∈ Z[x], deg P ≤ n, H(P) ≤Q is satisfied. The methods of obtaining estimates are different at different intervals of w change. In this article, at w > n +1 we get the estimate µ B< c1(n) Q – (w-1/n). The best estimate to date was c2(n) Q –(w- n/n).

Highlights

satisfied. The methods of obtaining estimates are different at different intervals of w change
Information about the authorЗасимович Елена Васильевна – аспирант. Институт математики НАН Беларуси (ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь). E-mail: elena.guseva.96@ yandex.by. Bernik Vasiliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus (11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: bernik.vasili@ mail.ru

Summary

Из теоремы Дирихле следует неравенство ap q

И если a − иррациональное число, то неравенство (2) имеет бесконечное число решений в целых числах p и q. Почти все точки интервала – это все точки I без точек x ∈ B ⊂ I , μB =0, а 1(Ψ) − множество x ∈ I , для которых неравенство xq - p < Ψ(q) имеет бесконечное число решений в целых p и q. Обозначим через n (Ψ) множество x ∈ I , для которых неравенство. Обозначим через n (Q, w) множество точек x ∈ I , для которых разрешимо неравенство. Интервалы σm (P) поделим на существенные и несущественные: а) интервал σ m (P1), P1(x) ∈ B1 = V (b ) n (Q) будем называть существенным, если для любого другого полинома P2 (x) ∈ B1 выполняется неравенство μ(σ m (P1). Обозначим через B4 множество x ∈ σm (R), для которых неравенство (13) разрешимо в полиномах t1(x) степени n1 и высоты Q λ.

Список использованных источников

Information about the author