Counting problems for special-orthogonal Anosov representations

Abstract

Pour des entiers positifs p et q soit G:=PSO(p,q) le groupe projectif spécial-orthogonal indéfini de signature (p,q). Nous étudions des problèmes de comptage dans l’espace symétrique Riemannien X G de G et dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien ℍ p,q-1 . Soit S⊂X G une copie totalement géodésique de X PSO(p,q-1) . Nous examinons l’orbite de S sous l’action d’un sous-groupe de G de type projectivement Anosov. Pour certains choix d’une telle copie géodésique, nous montrons que le nombre de points dans cette orbite qui se trouvent à une distance maximale t de S est fini et asymptotiquement purement exponentiel lorsque t tend vers l’infini. Nous fournissons une interprétation de ce résultat dans ℍ p,q-1 , comme l’asymptotique de la quantité de segments géodésiques de type espace de longueur maximale t dans l’orbite d’un point.