Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Abstract

Lo scopo di questo testo e di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varieta complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, e evidente; tuttavia non e semplice tenere le fila di una grande quantita di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto e composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe piu importante di correnti per le varieta complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarieta. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioe caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $$i\partial \bar \partial T$$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonche delle correnti chiuse. Questa scelta e motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kahleriane su varieta compatte.