Continuity of the time constant in a continuous model of first passage percolation

Abstract

Etant donnés une dimension d≥2 et une mesure finie ν sur (0,+∞), nous considérons ξ un processus ponctuel de Poisson sur Rd×(0,+∞) de mesure d’intensité dc⊗ν où dc désigne la mesure de Lebesgue sur Rd. Nous considérons le modèle booléen Σ=⋃ (c,r)∈ξB(c,r) où B(c,r) désigne la boule ouverte centrée en c et de rayon r. Pour tous x,y∈Rd, nous définissons T(x,y) comme le temps minimal nécessaire pour voyager de x à y pour un voyageur qui se déplace à vitesse 1 en dehors de Σ et à vitesse infinie dans Σ. Par une application standard du théorème ergodique sous-additif de Kingman, on peut facilement prouver que T(0,x) se comporte comme μ‖x‖ quand ‖x‖ tend vers l’infini, où μ est une constante appelée la constante de temps en percolation de premier passage classique. Dans cet article, nous étudions la régularité de μ comme fonction de la mesure ν associée au modèle booléen sous-jacent. Un des résultats clés est un contrôle uniforme de la longueur de “bonnes” géodésiques. Au cours de la preuve, nous avons recours à un analogue continu de l’inégalité BK pour des unions d’occurrences disjointes d’évènements.