Combinatorial invariant of Morse-Smale diffeomorphisms on surfaces with orientable heteroclinic

Andrey I Morozov,Olga V Pochinka

doi:10.15507/2079-6900.22.202001.71-80

Andrey I Morozov, Olga V Pochinka

Open Access

https://doi.org/10.15507/2079-6900.22.202001.71-80

Copy DOI

Abstract

In this paper we consider class of orientation-preserving Morse-Smale diffeomorphisms f, given on orientable surface M2. In their articles A.A.~Bezdenezhnich and V. Z. Grines has shown, that such diffeomorfisms contain finite number of heteroclinic orbits. Moreover, the problem of classification for such diffeomorphisms is reduced to the problem of distinguishing orientable graphs with substitutions describing the geometry of heteroclinic intersections. Howewer, these graphs generally do not allow polynomial distinguishing algorithms. In this paper, we propose a new approach to the classification of such cascades. To this end, each considered diffeomorphism f is associated with a graph whose embeddablility in the ambient surface makes it possible to construct an effective algoritm for distinguishing such graphs.

Highlights

The problem of classification for such diffeomorphisms is reduced to the problem of distinguishing orientable graphs with substitutions describing the geometry of heteroclinic intersections
We propose a new approach to the classification of such cascades
Each considered diffeomorphism f is associated with a graph whose embeddablility in the ambient surface makes it possible to construct an effective algoritm for distinguishing such graphs

Summary

Порядок Смейла

Диффеоморфизм f : M n → M n, заданный на гладком замкнутом связном nмногообразии (n ≥ 1) M n называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если. 1) неблуждающее множество Ωf состоит из конечного числа гиперболических орбит; 2) многообразия Wps, Wqu пересекаются трансверсально для любых неблуждающих точек p, q. В множестве периодических орбит любого диффеоморфизма f ∈ M S(M n) можно ввести отношение полного порядка, являющееся продолжением частичного порядка, введенное С. Смейлом [1], а именно, пусть Oi, Oj периодические орбиты диффеоморфизма МорсаСмейла f. Что орбиты Oi, Oj находятся в отношении ≺ (Oi ≺ Oj), если. Последовательность, состоящая из различных периодических орбит Oi = Oi0 , Oi1 , ..., Oik = Oj(k 1), такая что Oi0 ≺ Oi1 ≺ . K, соединяющей периодические орбиты Oi и Oj. В силу конечности неблуждающего множества для любого диффеоморфизма f ∈ M S(M n) корректно определено число, равное длине максимальной седловой цепи, которое обозначается beh(f )

Ориентируемость гетероклинического пересечения

Если множество вершину графа δi на