CLT for linear spectral statistics of Hermitian Wigner matrices with general moment conditions

Abstract

Изучается эрмитова матрица Вигнера $W_n=(x_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ с независимыми (с точностью до симметрии) внедиагональными элементами, имеющими нулевое среднее и единичную дисперсию. При некотором условии типа Линдеберга на четвертые моменты элементов матрицы доказана центральная предельная теорема для линейных статистик собственных значений матрицы $W_n$. Наш результат распространяет предыдущие результаты подобного рода на более общий случай, когда отсутствует ограничение $\bf E x^2_{ij}=0$ для $1\leq i < j \leq n$. Вместо этого мы предполагаем только, что вещественная и мнимая части наддиагональных элементов некоррелированы. Более точно, мы требуем, чтобы математические ожидания $\bf E x^2_{ij}$ были вещественными и однородными для всех $1\leq i < j \leq n$. Показано, что предельное нормальное распределение в центральной предельной теореме зависит от параметра $\bf E x^2_{ij}\in [-1,1]$.