Chebyshev's Problem of the Moments of Nonnegative Polynomials

Abstract

Изучается задача П. Л. Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных многочленов на отрезке $[-1,1]$ c весом при фиксированном нулевом моменте, поставленная им в 1883 г.в более общей форме. В случае первого момента задача была решена П. Л. Чебышевым (1883 г.) для единичного веса и Г. Сегe (1927 г.) для произвольного веса. Нами ранее было получено решение задачи Чебышева для моментов нечетного порядка, в значительной степени основанное на монотонности функции $x^{2k+1}$, $k\in\mathbb{N}$. Функция $x^{2k}$ не является монотонной на отрезке $[-1,1]$ и задача для моментов четного порядка становится сложнее. В работе получено решение задачи Чебышева о наибольших значениях моментов четного порядка для многочленов четной степени. Решение задачи о наименьшем значении второго момента для многочленов четной степени получено при дополнительном условии на вес. Библиография: 8 названий.