Canonical Brownian motion on the space of univalent functions and resolution of Beltrami equations by a continuity method along stochastic flows

Abstract

A.A. Kirillov has given a parametrization of the space U ∞ of univalent functions on the closed unit disk, which are C ∞ up to the boundary, by Diff ( S 1 ) / S 1 where Diff ( S 1 ) denotes the group of orientation preserving diffeomorphisms of the circle S 1 . In the same spirit, the space J ∞ of C ∞ Jordan curves in the complex plane can be parametrized by the double quotient SU ( 1 , 1 ) \ Diff ( S 1 ) / SU ( 1 , 1 ) . As a consequence, J ∞ carries a canonical Riemannian metric. We construct a canonical Brownian motion on U ∞ . Classical technologies of the theory of univalent functions, like Beurling–Ahlfors extension, Loewner equation, Beltrami equation, developed in the context of Kunita's stochastic flows, are the tools for obtaining this result which should be seen as a first step to the construction of a canonical Brownian motion on J ∞ . A.A. Kirillov a paramétré l'espace U ∞ des fonctions C ∞ , bijectives dans le disque unité fermé et holomorphes dans son intérieur, par l'espace Diff ( S 1 ) / S 1 , où Diff ( S 1 ) désigne le groupe des difféomorphismes préservant l'orientation du cercle unité. Dans le même esprit, l'espace J ∞ des courbes de Jordan C ∞ du plan complexe peut être paramétré par SU ( 1 , 1 ) \ Diff ( S 1 ) / SU ( 1 , 1 ) . Par voie de conséquence, l'espace J ∞ possède une métrique riemannienne canonique. Nous construisons dans cet article le mouvement brownien canonique sur U ∞ à l'aide de technologies classiques de la théorie des fonctions univalentes, comme l'extension de Beurling–Ahlfors, l'équation de Loewner, l'équation de Beltrami, revisitées dans le contexte des flots stochastiques à la Kunita. Cet article nous semble être un premier pas vers la construction du mouvement brownien canonique sur J ∞ .