Best Approximation Rate of Constants by Simple Partial Fractions and Chebyshev Alternance

Abstract

Рассматривается задача интерполяции и наилучшего равномерного приближения констант $c\ne 0$ наипростейшими дробями $\rho_n$ порядка $n$ на отрезке $[a,b]$ (все величины вещественны). В случае $n>4|c|(b-a)$ доказана однозначная разрешимость задачи интерполяции, получены точные по порядку $n$ верхняя и нижняя оценки погрешности интерполяции в совокупности всех узлов и показано, что полюсы интерполяционной дроби лежат вне круга с диаметром $[a,b]$. Получен один из аналогов классической теоремы Чебышeва о наименьшем уклонении унитарного полинома степени $n$ от константы. А именно, при $n>4|c|(b-a)$ доказано, что дробь $\rho_n^*$ наилучшего приближения константы $c$ на $[a,b]$ единственна и характеризуется чебышевским альтернансом из $n+1$ точки для разности $\rho_n^*-c$. Получена точная по порядку $n$ оценка наименьших уклонений. Библиография: 16 названий.