Asymptotics of the Solution of Bisingular Problem for a System of Linear Parabolic Equations. I

M V Butuzova

doi:10.18255/1818-1015-2013-1-5-17

Abstract

Given a bisingular parabolic problem for a system of linear parabolic equations, we construct an asymptotics for the solution of any order with respect to a small parameter, without using the joining procedure for asymptotic expansions.

Highlights

Для решения бисингулярной начально-краевой задачи для системы линейных параболических уравнений построена асимптотика произвольного порядка по малому параметру без использования процедуры согласования асимптотических разложений
Данная задача относится к так называемым бисингулярным задачам, в которых одна особенность связана с сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а другая с негладкостью членов асимптотики
I. Given a bisingular parabolic problem for a system of linear parabolic equations, we construct an asymptotics for the solution of any order with respect to a small parameter, without using the joining procedure for asymptotic expansions

Summary

Постановка задачи

Где uk(x, t) регулярные члены асимптотики; Πk(ξ, t, ε) функции пограничного слоя, описывающие √поведение решения в окрестности боковой границы x = 0 полуполосы D, ξ = x/ ε; vk(η, t) функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии ξ = ξ0(t, ε), которая является характеристикой уравнен√ий для функций Πk, выходящей из угловой точки (ξ, t) = (0, 0), η = [ξ − ξ0(t, ε)]/ ε; wk(ξ, t, ε) функции, устраняющие невязки, вносимые функциями vk в граничное условие (3). Особенность задачи состоит в том, что функции пограничного слоя Πk определяются из уравнений в частных производных первого порядка, вследствие чего оказываются негладкими и даже разрывными (при k ≥ 2) на характеристике ξ = ξ0(t, ε), выходящей из угловой точки полуполосы D. В данной работе предложен способ построения асимптотики произвольного порядка для решения бисингулярной задачи (1) – (3) без применения процедуры согласования. Этот способ является модификацией метода, использованного в работе [4]

Регулярная часть асимптотики

Функции пограничного слоя

Функции внутреннего переходного слоя

Основной результат