Asymptotic expansions for a class of singular integrals emerging in nonlinear wave systems

Abstract

Найдены асимптотики интегралов вида $\int_{\mathbb{R}^d}\frac{F(x)}{\omega^2(x)+\nu^2} dx$ при $\nu\to 0$, в которых достаточно гладкие функции $F$ и $\omega$ удовлетворяют естественным предположениям о поведении на бесконечности, а все критические точки функции $\omega$, лежащие в множестве $\{\omega(x)=0\}$, являются невырожденными. Эти асимптотики играют важную роль при анализе стохастических моделей нелинейных волновых систем. Полученный результат обобщает результат С. Куксина, где найдена аналогичная асимптотика в частном случае, когда $\omega$ - невырожденная квадратичная форма сигнатуры $(d/2,d/2)$ с четным $d$.