Asymmetric covariance estimates of Brascamp–Lieb type and related inequalities for log-concave measures

Abstract

Une inegalite de Brascamp et Lieb donne une estimation sur la covariance entre deux fonctions par rapport a une mesure log-concave, qui est bornee par le produit des normes $L^{2}$ des gradients des fonctions, ou l’amplitude du gradient est calculee en utilisant un produit scalaire egal a l’inverse de la matrice Hessienne du potentiel de la mesure log-concave. Menz et Otto [Uniform logarithmic Sobolev inequalities for conservative spin systems with super-quadratic single-site potential. (2011) Preprint] ont prouve une variante de ce resultat ou les normes $L^{2}$ sont remplacees par des normes $L^{1}$ et $L^{\infty}$, mais seulement dans $\mathbb{R}^{1}$. Nous prouvons une generalisation de ces deux resultats, avec une extension de ces inegalites a des normes $L^{p}$ et $L^{q}$ dans $\mathbb{R}^{n}$, pour tout $n\geq1$. Nous prouvons aussi une inegalite pour des integrales de differences divisees de fonctions a l’aide des integrales de leurs gradients.