Arrangements Of Minors In The Positive Grassmannian And a Triangulation of The Hypersimplex

Abstract

The structure of zero and nonzero minors in the Grassmannian leads to rich combinatorics of matroids. In this paper, we investigate an even richer structure of possible equalities and inequalities between the minors in the positive Grassmannian. It was previously shown that arrangements of equal minors of largest value are in bijection with the simplices in a certain triangulation of the hypersimplex that was studied by Stanley, Sturmfels, Lam and Postnikov. Here we investigate the entire set of arrangements and its relations with this triangulation. First, we show that second largest minors correspond to the facets of the simplices. We then introduce the notion of cubical distance on the dual graph of the triangulation, and study its relations with the arrangement of t-th largest minors. Finally, we show that arrangements of largest minors induce a structure of partially ordered sets on the entire collection of minors. We use the Lam and Postnikov circuit triangulation of the hypersimplex to describe a 2-dimensional grid structure of this poset. La structure des mineurs nuls et non nuls dans la Grassmannienne amène à une combinatoire très riche dematroïdes. Dans cet article, nous examinons la structure encore plus riche des égalités et inégalités possibles entreles mineurs de la Grassmannienne positive. Il a été montré précédemment que les arrangements de mineurs égauxde valeur maximale sont en bijection avec les simplexes d’une certaine triangulation de l’hypersimplexe étudiée parStanley, Sturmfels, Lam et Postnikov. Nous examinons ici l’ensemble total des arrangements et ses relations aveccette triangulation. Tout d’abord, nous montrons que les deuxièmes plus grands mineurs correspondent aux facettesdes simplexes. Nous introduisons ensuite la notion de distance cubique sur le graphe dual de la triangulation, et nousétudions ses relations avec l’arrangement des t-ièmes plus grands mineurs. Enfin, nous montrons que les arrangementsde mineurs maximaux induisent une structure d’ensemble partiellement ordonn´e sur la collection totale des mineurs.Nous utilisons la triangulation-circuit de Lam et Postnikov de l’hypersimplexe pour décrire une structure de réseau2-dimensionnel sur ce poset.