Approximation of Bivariate Functions by Fourier-Tchebychev ``Circular'' Sums in $L_{2,\rho}$

Abstract

В работе вычислены точные верхние грани приближения функций двух переменных круговыми частичными суммами двойного ряда Фурье - Чебышева на классе функций $L_{2,\rho}^{(r)} (D)$, $r\in \mathbb{N},$ в пространстве $L_{2,\rho}:=L_{2,\rho}(Q)$, где $\rho:=\rho(x,y)=1/\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}$, $Q:=\{(x,y):-1\leq x,y\leq1\}$, $D$ - оператор Чебышева - Эрмита второго порядка. Получены точные неравенства, в которых величины наилучших полиномиальных приближений оцениваются сверху посредством усредненных с весом значений обобщенных модулей непрерывности $m$-го порядка производной $D^r f$ $(r\in \mathbb{Z}_+)$ в метрике пространства $L_{2,\rho}$. Даны точные оценки наилучших приближений двойного ряда Фурье по ортогональным системам Фурье - Чебышева на классах функций многих переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности. Так как, в отличие от одномерного случая для двойных рядов, нет естественного способа построения частичных сумм, то мы строим некоторые классы функций, а затем соответствующий метод приближения - "круговые" частичные суммы двойного ряда Фуре - Чебышева. В вопросах, связанных с разложениями функций в ряд Фурье по тригонометрической системе и оценки их наилучших приближений, большую роль играют операторы сдвига. В работе, указывая на некоторые ранее известные результаты, построен оператор обобщенного сдвига, который позволяет определить класс функций, характеризующийся обобщенным модулем непрерывности. На этих классах вычислена верхняя грань значений, наилучшее среднеквадратическое приближение некоторых классов функций "круговыми" частичными суммами двойных рядов Фурье - Чебышева.