К теории модельных трехмерных интегральных уравнений типа Вольтерра с граничными особыми, слабо-особыми и сильно особыми ядрами

Abstract

В настоящей работе изучается трехмерное модельное интегральное уравнение типа Вольтерра с граничными слабо-особыми, особыми и сильно особыми ядрами в области $\Omega=\{(x,y,z):\,0\leq a<x<\infty,\ 0\leq b<y<b_{0},\ 0\leq c<z<c_{0}\}$, которую назовем прямоугольной трубой. В случае, когда коэффициенты уравнения связаны между собой, решение уравнения ищется в классе непрерывных функций в~$\Omega$, обращающихся в нуль с определенным асимптотическим поведением на особых областях. Доказано,что при выполнении определенных условий, задача о нахождении решения трехмерного интегрального уравнения типа Вольтерра с граничными слабо-особыми, особыми и сильно особыми ядрами сводится к решению одномерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми граничными ядрами. Отметим, что при решении данного интегрального уравнения используются связи данных уравнений с дифференциальными уравнениями первого порядка со слабо-сингулярными, сингулярными и сильно-сингулярными коэффициентами. Устанавливается, что от полученного решения и правой части нет необходимости требовать дифференцируемости, достаточно в правой части трехмерного интегрального уравнения с граничными особыми, слабо-особыми и сильно-особыми ядрами требовать непрерывности и обращения в нуль с определенной асимптотикой на особых областях. Доказано, что в зависимости от знака коэффициентов уравнения, явное решение модельного трехмерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особыми ядрами может содержать от одного до трех произвольных функций двух переменных, также определен случай, когда решение интегрального уравнения единственно.