An introduction to the topological asymptotic expansion with examples

Abstract

To find an optimal domain is equivalent to look for Its characteristic function. At first sight this problem seems to be nondifferentiable. But it is possible to derive the variation of a cost function when we switch the characteristic function from 0 to 1 or from 1 to 0 a small area. Classical and two generalized adjoint approaches are considered in this paper. Their domain of validity is given and Illustrated by several examples. Using this gradient type Information, It is possible to build fast algorithms. Generally, only one Iteration Is needed to find the optimal shape. Trouver un domaine optimal est équivalent à la recherche de sa fonction caractéristique. A première vue, ce problème semble non différentiable, mais Il est possible de calculer la variation de la fonction coût lorsque la fonction caractéristique passe de 1 à 0 ou de 0 à 1 dans une région de petite taille. On s’appuiera sur une approche adjointe classique et deux généralisations de cette méthode. Le domaine de validité de ces différentes approches est donné et illustré par différents exemples. Cette Information de type gradient permet de construire des algorithmes très efficaces: en général, une seule Itération suffit pour trouver le domaine optimal.