Algebraic homotopy classes of rational functions

Abstract

— We compute the set [ P,P ]N of naive homotopy classes of scheme endomorphisms of the projective line P over the spectrum of a field. Our result compares well with Morel’s computation in [9] of the group [ P,P ]A1 of A-homotopy classes of endomorphisms of P: the set [P1,P1]N admits an a priori monoid structure such that the canonical map [ P,P ]N → [P1,P1]A1 is a group completion. Resume (Classes d’homotopie algebrique de fractions rationnelles). — Nous determinons l’ensemble [ P,P ]N des classes d’homotopie naive d’endomorphismes de schemas de la droite projective P au-dessus du spectre d’un corps. Notre resultat se compare bien avec le calcul, effectue par Morel dans [9], du groupe [ P,P ]A1 des classes d’homotopie A d’endomorphismes de P: l’ensemble [ P,P ]N admet a priori une structure de monoide telle que l’application canonique [ P,P ]N → [P1,P1]A1 soit une completion en groupe.