Abelian theorem for the regularly varying measure and its density in orthant

Abstract

Рассматривается $\sigma$-конечная мера $U$, сосредоточенная в положительном координатном угле $\mathbf{R}^n_+=[0,\infty)^n$, для которой существует преобразование Лапласа $\widetilde{U}(\lambda)$ при $\lambda\in\operatorname{int} \mathbf{R}^n_+$. Пусть заданы функции $R(t)>0$ и $b(t)=(b_1(t),…,b_n(t))\in\operatorname{int} \mathbf{R}^n_+$ при $t\geq0$ такие, что $R(t)\to\infty$, $b_i(t)\to\infty$\enskip $\forall i=1,…,n$. При некоторых предположениях на эти функции, из слабой сходимости последовательности мер $U(b(t) {\cdot} )/R(t)$ к $\Phi{( \cdot )}$ при $t\to\infty$ выводится сходимость $\widetilde{U}(\lambda/b(t))\to\widetilde{\Phi}(\lambda)<\infty$ для любого $\lambda\in\operatorname{int} \mathbf{R}^n_+$ ($t\to\infty$) (умножение и деление векторов - покомпонентное). Функцию $f\colon \mathbf{R}_+^n\to \mathbf{R}_+$ назовем правильно меняющейся на бесконечности в $\mathbf{R}_+^n$ вдоль $b(t)$, если для всех $x$, $x(t) \in \mathbf{R}_+^n\setminus\{0\}\colon x(t)\to x$ выполнено соотношение $f(b(t)x(t))/f(b(t))\to\varphi(x)\in(0,\infty)$ при $t\to\infty$. Даны достаточные условия на такие функции, при выполнении которых $\widehat{f}(\lambda/b(t))\equiv\widetilde{U}(\lambda/b(t)) \to\widehat{\phi}(\lambda)\equiv\widetilde{\Phi}(\lambda)<\infty$ для любого $\lambda\in\operatorname{int} \mathbf{R}^n_+$\enskip ($t\to\infty$) при $U(dx)=f(x) dx$, $\Phi(dx)=\varphi(x) dx$. Полученная абелева теорема применяется в конце статьи для исследования предельного поведения распределения типа кратного степенного ряда.