A weak law of large numbers for dependent random variables

Abstract

Любая последовательность $f_1, f_2, …$ случайных величин, удовлетворяющая условию $\lim_{M\to\infty}(M \sup_{k\in \mathbf N} \mathbf{P}(|f_k|> M))=0$, содержит подпоследовательность $f_{k_1}, f_{k_2}, …$, которая вместе со всеми своими подпоследовательностями удовлетворяет слабому закону больших чисел $\lim_{N\to\infty} ((1/N) \sum^N_{n=1} f_{k_n}- D_N)=0$ по вероятности. Здесь $D_N$ является "корректирующей" случайной величиной со значениями в $[-N,N]$ для каждого $N\in\mathbf{N}$. Все корректоры равны нулю при условии, что $\lim \inf_{n\to\infty}\mathbf{E}(f^2_n \mathbf{1}_{\{|f_n|\le M\}})=0$ для каждого $M\in (0,\infty)$.