Периодические элементы $\sqrt f$ в эллиптических полях с полем констант нулевой характеристики

Abstract

Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элементов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в классических работах Н.~Абеля и П.~Л.~Чебышева. В 2014 году В.~П.~Платоновым был предложен общий концептуальный метод, базирующийся на глубокой связи трех классических проблем: проблема существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследовании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В.~П.~Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ такие, что $\sqrt{f}$ разлагается в периодическую непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$, а также были получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода $2$ и выше. В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей $k(x)(\sqrt{f})$ над произвольным числовым полем $k$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит $k$-точку четного порядка не превосходящего $18$ или $k$-точку нечетного порядка не превосходящего $11$. Для произвольного поля $k$ являющегося квадратичным расширением $\mathbb Q$ найдены все такие эллиптические поля, а для поля $k=\mathbb Q$ было получено новое доказательство конечности числа периодических $\sqrt{f}$, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.