Об абсолютной непрерывности меры Эрдeша для золотого сечения, числа трибоначчи и марковских цепей второго порядка

Abstract

Рассматривается степенной ряд в фиксированной точке $\rho \in (0.5,1)$, где случайные коэффициенты принимают значения $0$, $1$ и образуют стационарный, эргодический и апериодический процесс. Мера Эрдeша - это закон распределения такого ряда. Задача об абсолютной непрерывности меры Эрдeша сводится к вопросу, когда соответствующая скрытая марковская цепь является марковской цепью Перри. Для золотого сечения и 1-марковских цепей мы получаем необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности меры Эрдeша и, используя марковские цепи Блекуэлла, даем новое доказательство того, что необходимые условия, найденные ранее (Теория вероятн. и ее примен., 51:1 (2006), 5-21), являются достаточными. Для числа трибоначчи и 1-марковских цепей получено новое доказательство теоремы о сингулярности меры Эрдeша. Для числа трибоначчи и 2-марковских цепей найдено только два случая абсолютной непрерывности.