Abstract
In the article drl-semirings are studied. The obtained results are true for drl-semigroups, because a drl-semigroup with zero multiplication is drl-semiring. This algebras are connected with the two problems: 1) there exists common abstraction which includes Boolean algebras and lattice ordered groups as special cases? (G. Birkhoff); 2) consider lattice ordered semirings (L. Fuchs). A possible construction obeying of the first problem is drl-semigroup, which was defined by K. L. N. Swamy in 1965. As a solution to the second problem, Rango Rao introduced the concept of l-semiring in 1981. We have proposed the name drl-semiring for this algebra. In the present paper the drl-semiring is the main object. Results of K. L. N. Swamy for drl-semigroups are extended and are improved in some case. It is known that any drl-semiring is the direct sum S = L(S) ⊕ R(S) of the positive to drl-semiring L(S) and l-ring R(S). We show the condition in which L(S) contains the least and greatest elements (theorem 2). The necessary and sufficient conditions of decomposition of drl-semiring to direct sum of l-ring and Brouwerian lattice (Boolean algebra) are founded at theorem 3 (resp. theorem 4). Theorems 5 an 6 characterize l-ring and cancellative drl-semiring by using symmetric difference. Finally, we proof that a congruence on drl-semiring is Bourne relation.
Highlights
We proof that a congruence on drl-semiring is Bourne relation
[6, theorem 2.1] drl-полукольцо S с наибольшим элементом является lкольцом тогда и только тогда, когда a * b = (a + x) * (b + x) для любых a, b, x ∈ S
Summary
Статья посвящена изучению drl-полуколец, а поскольку drl-полукольца с нулевым умножением суть drl-полугруппы, то результаты верны и для них. Биркгоф ( [1], проблема 105): "Существует ли абстрактная конструкция, объединяющая булевы алгебры и решеточно упорядоченные группы?". Под решеточно упорядоченными полукольцами Голан понимает аддитивно идемпотентные полукольца, образующие важный, но не достаточно широкий класс. Класс drl-полугрупп (dually residuated lattice ordered semigroup) дает примеры абстракций, включающих как булевы алгебры, так и l-группы, следовательно, мы получаем одно из решений проблемы Биркгофа Приведшие к drl-полугруппам, можно найти среди брауэровых алгебр и решетках с делением (residuated lattice); на последние [8] явно указывал Swamy. В настоящей статье при исследовании drl-полуколец (l-полукольца в терминологии Rao) выделяются важные идеалы drl-полукольца S — множество всех аддитивно обратимых элементов R(S) и положительно упорядоченное drl-полукольцо L(S). При которых L(S) удовлетворяет дополнительным условиям, а также выясняется, когда drl-полукольцо является l-кольцом, брауэровой решеткой, булевой алгеброй, аддитивно сократимым полукольцом. Свойства drl-полугрупп и drl-полуколец и их доказательства помимо пионерских работ Swamy можно найти в [9], [10]
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
