Abstract
We consider the problem about a number of \(p2\)--tilings of a plane by a given area polyominoes. A polyomino is a connected plane geometric figure formed by joining one or more unit squares edge to edge. At present, various combinatorial enumeration problems connected to the polyomino are actively studied. There are some interesting problems on enuneration of various classes of polyominoes and enumeration of tilings of finite regions or a whole plane by polyominoes. The tiling is called \(p2\)--tiling, if each tile can be mapped to any other tile by the translation or the central symmetry, and this transformation maps the whole tiling to itself. \(p2\)-tilings are special case of regular plane tilings. Let \(t(n)\) be a number of \(p2\)--tilings of a plane by a \(n\)-area polyomino such that the lattices of periods of these tilings are sublattices of \(\mathbb{Z}^2\). It is proved that following inequality is true: \( C_12^n \leq t(n)\leq C_2n^4(2.68)^n\). To prove the lower bound we use the exact construction of required tilings. The proof of the upper bound is based on the Conway criterion of the existence of \(p2\)--tilings of a plane. Also, the upper bound depends on the theory of self-avoiding walks on the square lattice. Earlier similar results were obtained by authors for the number of lattice tilings of a plane by a given area polyomino (it's more simple type of a plane tilings by polyomino), and for the number of lattice tilings of the plane by centrosimmetrical polyomino.
Highlights
We consider the problem about a number of p2–tilings of a plane by a given area polyominoes
Bound we use the exact construction of required tilings
The proof of the upper bound is based on the Conway criterion of the existence of p2–tilings of a plane
Summary
Как известно, представляет собой фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов (клеток), которая сильно связна, то есть из любой клетки в любую другую клетку этого полимино можно попасть, переходя по общим сторонам смежных клеток. В работах [15] и [14] для всех полимино площади n с n ≤ 14 и n ≤ 25 соответственно найдены периодические разбиения плоскости на данное полимино с минимальным числом клеток в фундаментальной области решетки периодов или доказано отсутствие периодических разбиений на заданное полимино. Возникает задача подсчитать число T (n) решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади n, решетка периодов которых является подрешеткой Z2. В работах [26], [27] было показано, что для числа T (n) решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2, верна следующая оценка. Позже в работе [28] было показано, что для числа Tc(n) решетчатых разбиений плоскости на центрально–симметричные полимино заданной площади n справедлива оценка. Для числа t(n) p2–разбиений плоскости на полимино заданной площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2, имеет место следующая оценка: C12n ≤ t(n) ≤ C2n4(2.68)n
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
