Точные оценки производных высокого порядка в пространствах Соболева

Abstract

В работе получено описание сплайнов $Q_{n,k}(x,a)$, которые задают соотношения $y^{(k)}(a)=\int_0^1 y^{(n)}(x)Q^{(n)}_{n,k}(x,a)dx$ для произвольной точки $a\in(0;1)$ и произвольной функции $y\in\mathring{W}^n_p[0;1]$. Указана связь задачи о минимизации по параметру $a$ нормы $\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0;1]}$ ($1/p+1/p'=1$) с задачей о наилучших оценках производных $|y^{(k)}(a)|\leqslant A_{n,k,p}(a)\|y^{(n)}\|_{L_p[0;1]}$, а также c задачей нахождения точных констант вложения пространства Соболева $\mathring{W}^n_p[0;1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[0;1]$, $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant k\leqslant n-1$. Найдены точные константы вложения для всех $n\in\mathbb{N}$, $k=n-1$ при $p=1$ и при $p=\infty$.