Минимаксные среднеквадратические оценки матричных параметров в задачах линейной регрессии в условиях неопределенности

Abstract

Исследована проблема оценки параметров в задачах линейной регрессии со случайными матричными коэффициентами. При условии, что наблюдаются случайные линейные функции от неизвестных матриц со случайными погрешностями, имеющими неизвестные корреляционные матрицы, исследованы задачи гарантированного среднеквадратичного оценивания линейных функций от матриц. Получены оценки сверху и снизу гарантированных среднеквадратических погрешностей линейных оценок по наблюдениям линейных функций от матриц в том случае, когда известны множества, которым принадлежат неизвестные матрицы и корреляционные матрицы погрешностей наблюдений. Установлено, что в некотором частном случае такие оценки являются точными. При предположении, что множества ограничены, выпуклы и замкнуты, получены более точные двусторонние оценки для гарантированных погрешностей. Найдены условия, когда гарантированные среднеквадратические погрешности приближаются к нулю при увеличении количества наблюдений. Приведены необходимые и достаточные условия несовмещенности линейных оценок линейных функций от матриц. Введено понятие квазиоптимальных оценок для линейных функций от матриц и доказано, что в классе несмещенных оценок квазиоптимальные оценки существуют и единые. Для таких оценок получены условия сходимости к нулю гарантированных среднеквадратических погрешностей. Также для линейных оценок неизвестных матриц введено понятие квазимимимаксных оценок и доказано, что они не смещены. Для специальных множеств, которым принадлежат неизвестная матрица и корреляционные матрицы погрешностей наблюдений, такие оценки выражены из-за решения линейных операторных уравнений в конечномерном пространстве. Для квазимимимаксных оценок при определенных предположениях определен вид гарантированной среднеквадратичной погрешности оценки неизвестной матрицы. Показано, что такие погрешности ограничиваются сверху суммой следов известных матриц. Приведен пример нахождения минимаксной несмещенной линейной оценки для специального вида случайных матриц, входящих в уравнение наблюдения.