Επί του συνόρου των δισδιάστατων συμπλόκων

Abstract

Η παρούσα διατριβή αφορά στη μελέτη του συνόρου υπερβολικών δισδιάστατων πολυέδρων. Οι χώροι οι οποίοι μελετώνται κατασκευάζονται κολλώντας υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν 2 τουλάχιστον κορυφές στο άπειρο. Οι συγκολλήσεις γίνονται με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών των τριγώνων και οι χώροι οι οποίοι προκύπτουν εφοδιάζονται φυσιολογικά με μία γεωμετρία η οποία έχει ομοιότητες με την γεωμετρία των υπερβολικών πολλαπλοτήτων. Αρχικά μελετάμε τις βασικές ιδιότητες των δισδιάστατων ιδεωδών πολυέδρων και αποδεικνύουμε ότι: «Για κάθε δύο σημεία του συνόρου του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε, υπάρχει άπειρο πλήθος υποχώρων του συνόρου ομοιομορφικών με το οι οποίοι περιέχουν τα σημεία αυτά». Στη συνέχεια, για μια ειδική κλάση πολυέδρων που κατασκευάζουμε κολλώντας με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών τους πεπερασμένα υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν δύο κορυφές στο άπειρο, αποδεικνύουμε επιπλέον ότι: «το σύνορο του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε είναι τοπικά συνεκτικό κατά τόξα». Τέλος, στην τρίτη ενότητα δίδουμε μια τοπολογική περιγραφή του συνόρου των ιδεωδών πολυέδρων διάστασης 2.