Abstract
We consider the resonance set of a real polynomial, i.e. the set of all the points of the coefficient space at which the polynomial has commensurable roots. The resonance set of a polynomial can be considered as a certain generalization of its discriminant set. The structure of the resonance set is useful for investigation of resonances near stationary point of a dynamical system. The constructive algorithm of computation of polynomial parametrization of the resonance set is provided. The structure of the resonance set of a polynomial of degree \(n\) is described in terms of partitions of the number \(n\). The main algorithms, described in the paper, are organized as a library of the computer algebra system \(Maple\). The description of the resonance set of a cubic polynomial is given.
Highlights
The constructive algorithm of computation of polynomial parametrization of the resonance set is provided
The description of the resonance set of a cubic polynomial is given
Эта замена параметров приведёт к тому, что многочлен fn(x) на части многообразия Vl+1, где есть пара комплексно-сопряжённых корней, можно представить в виде m−2 fn(x) = u(x) (︀(x − v1)2 + v22)︀ ∏︁ [︀1 − pjqm−2−jt1]︀
Summary
Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда для некоторого вещественного многочлена f (x) необходимо сформулировать условия на его коэффициенты, при выполнении которых этот многочлен имеет соизмеримые корни. Резонансным множеством R(fn) многочлена fn(x) назовём множество всех точек пространства коэффициентов Π, в которых fn(x) имеет хотя бы пару p : q-соизмеримых корней. Следовательно, многочлен fp:q из формулы (2) имеет цепочку p : q-соизмеримых корней длины k − 1 с порождающим корнем t/q. Тогда согласно теореме 1 нули идеала Ip(l:q) (fn) образуют множество, на котором многочлен fn(x) имеет в точности k < n различных цепочек p : q-соизмеримых корней. Любое разбиение λ числа n определяет некоторую структуру p : q-соизмеримых корней многочлена и этой структуре соответствует в пространстве коэффициентов Π некоторое алгебраическое многообразие Vli, i = 1, . Число таких многообразий размерности l равно pl(n), а общее число многообразий всех возможных размерностей равно p(n) − 1, поскольку разбиению [1n] соответствует ситуация, когда все порождающие корни многочлена (1) задают цепочки корней длины 1, т. 3 l < n, на котором все корни многочлена (1) вещественные
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
