Abstract
Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $$\sqrt{f}/h^{g+1}$$, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных S-единиц в поле L рода g и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что элементы $$\sqrt{f}/h^s$$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $$f \in \mathbb{Q}[x]$$ - свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной S-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной S-единицы поля L.
Highlights
Пусть F (X) ∈ K[X] — свободный от квадратов многочлен над полем K характеристики отлич√ной от 2
This is underlined by the example we found of a polynomial f of degree 4, for which the corresponding continued fractions have an abnormally large period length
Earlier in the article [5] we found examples of continued fractions of elements of the hyperelliptic field L
Summary
Пусть F (X) ∈ K[X] — свободный от квадратов многочлен над полем K характеристики отлич√ной от 2. В данной статье мы покажем, что в поле L могут существовать элементы, имеющие периодическую непрерывную дробь с длиной квазипериода существенно больше, чем порядок класса дивизора (∞− − ∞+) в группе классов дивизоров Δ∘(L). Построенных по конечному нормированию, для которых длина квазипериода существенно больше степени соответствующего дивизора кручения, были приведены в статье [5] В теореме 1 статьи [5] доказан общий критерий квазипериодичности непрерывных дробей в поле формальных степенных рядов K((h)) для элементов поля L. В теореме 2 статьи [5] для некоторого фиксированного s ∈ Z найдены достаточные условия одновременной квазипериодичности не√прерывных дробей элементов α, α · hs ∈ L ∖ K(x). В случае deg f = 2g + 2 указанные теореме 2 статьи [5] достаточные условия не являются необходимыми, что подтверждается примерами 1-3 [5].
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
