Группы диагональных вентилей в иерархии Клиффорда

Abstract

В формализме стабилизатора квантовой коррекции ошибок и квантовых вычислений решающую роль играет иерархия Клиффорда. За исключением нулевого уровня (дискретная группа Гейзенберга-Вейля) и первого уровня (группа Клиффорда), все остальные уровни иерархии Клиффорда не являются группами. Однако диагональные вентили на всех уровнях образуют группы, и желательно охарактеризовать их генераторы и структуры. Изучаются диагональные вентили на втором уровне иерархии Клиффорда. Для этого вводится понятие $T$-вентиля в системе произвольной размерности, обобщающее соответствующее понятие для простой размерности. С помощью введенного $T$-вентиля можно полностью описать групповые структуры диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда в случае любой (а не только простой) размерности. Показано, что групповая классификация принципиально зависит от теоретико-числовой природы размерности. Результаты выявляют особую роль первых двух простых чисел 2 и 3 в разложении размерности на простые множители. $T$-вентиль в системе произвольной размерности, помимо своей ключевой роли как генератора диагональных вентилей, может обладать самостоятельной ценностью и иметь дальнейшие приложения в квантовой теории.