평면의 채색수 알고리즘

Abstract

본 논문은 평면상의 거리가 1인 인접 정점들에 대해 서로 다른 색을 칠할 경우 최대로 필요한 색인 채색수를 찾는 문제를 연구하였다. 지금까지 채색수 상한 값은 <TEX>$4{\leq}{\chi}(G){\leq}7$</TEX>로 알려져 있으며, Hadwiger-Nelson은 <TEX>${\chi}(G){\leq}7$</TEX>, Soifer는 <TEX>${\chi}(G){\leq}9$</TEX>를 제안하였다. 먼저, 최소로 필요로 하는 채색수를 구하는 알고리즘을 제안하고, Hadwiger-Nelson의 정육각형 그래프를 대상으로 채색수를 구한 결과 <TEX>${\chi}(G)=3$</TEX>이 될 수 있음을 보였다. Hadwiger-Nelson의 정육각형 그래프를 12개 인접 정점으로 가정할 경우 <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX>를 구하였다. 또한, Soifer의 8개 인접 정점 정사각형 그래프에 대해 채색수를 구한 결과 <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX>임을 보였다. 결국, 제안된 알고리즘은 최소 차수 정점부터 색을 배정하는 단순한 다항시간 규칙을 적용하여 평면의 최대 채색수는 <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX>임을 제안한다. In this paper, I seek the chromatic number, the maximum number of colors necessary when adjoining vertices in the plane separated apart at the distance of 1 shall receive distinct colors. The upper limit of the chromatic number has been widely accepted as <TEX>$4{\leq}{\chi}(G){\leq}7$</TEX> to which Hadwiger-Nelson proposed <TEX>${\chi}(G){\leq}7$</TEX> and Soifer <TEX>${\chi}(G){\leq}9$</TEX> I firstly propose an algorithm that obtains the minimum necessary chromatic number and show that <TEX>${\chi}(G)=3$</TEX> is attainable by determining the chromatic number for Hadwiger-Nelson's hexagonal graph. The proposed algorithm obtains a chromatic number of <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX> assuming a Hadwiger-Nelson's hexagonal graph of 12 adjoining vertices, and again <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX> for Soifer's square graph of 8 adjoining vertices. assert. Based on the results as such that this algorithm suggests the maximum chromatic number of a planar graph is <TEX>${\chi}(G)=4$</TEX> using simple assigned rule of polynomial time complexity to color for a vertex with minimum degree.