Abstract
В статье дано доказательство полноты перечня одного класса выпуклых симметричных многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Этот класс принадлежит классу так называемых RR-многогранников. RR-многогранники характеризуются следующими условиями симметрии: у каждого многогранника класса RR существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём каждая грань, не входящая в звезду ромбической вершины, является правильной. Ромбичность вершины здесь означает, что звезда вершины составлена из n равных, одинаково расположенных ромбов. Симметричность вершины означает, что через неё проходит ось вращения порядка n её звезды. Ранее автором были найдены все многогранники с ромбическими или дельтоидными вершинами и локально симметричными гранями. При этом локально симметричные грани не принадлежат ни одной из ромбических или дельтоидных звёзд. Класс RR-многогранников получается из рассмотренных ранее заменой условия локальной симметрии неромбических граней условием их правильности.Таким образом, рассматриваемый класс RR связан с известным результатом Н. Джонсона и В. Залгаллера о перечислении всех выпуклых многогранников с условием правильности граней. Но, как показано в настоящей статье, RR-многогранники не могут быть просто получены из класса правильногранных, а требуют специального метода. Настоящая статья посвящена доказательству полноты класса RR-многогранников с двумя изолированными симметричными ромбическими вершинами V, W. При этом ромбы сходятся в вершинах V, W не обязательно своими острыми углами и V, W не обязательно разделены только одним поясом правильных граней.
Highlights
This class belongs to the class of so-called RRpolyhedra
The RR-polyhedra are characterized by the following symmetry conditions
there are faces that do not belong to any star of these vertices
Summary
Целью настоящей статьи является доказательство полноты списка одного класса замкнутых выпуклых симметричных многогранников в E3, принадлежащих классу так называемых RR-многогранников. Последний класс характеризуется условиями симметрии на элементы многогранника, а именно: многогранник M называется в работе RR-многогранником (от слов “rombic"и “regular"), если у него существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие звёздам этих вершин и являющиеся правильными многоугольниками одного типа. Существует класс правильных (платоновых) многогранников в E3; существует класс многогранников Джонсона–Залгаллера только с одним условием симметрии на грани: все грани являются правильными многоугольниками не обязательно одного типа. Известен также многогранник с двумя изолированными симметричными ромбическими вершинами и правильными гранями, в котором ромбические звёзды отделены одним поясом правильных граней (шестиугольниками) — удлинённый ромбододекаэдр. В [20] анонсирована теорема, в которой доказывается полнота списка RR-многогранников с одним поясом правильных граней и изолированными остроугольными симметричными ромбическими вершинами. В настоящей работе будут найдены все RR-многогранники с двумя симметричными, изолированными — как остроугольными так и тупоугольными — ромбическими вершинами, звёзды которых зеркально расположены. Что некоторые другие взаимосвязи геометрии многогранников с симметрией его элементов можно найти, например, в [11–18], [21], [23]
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
