Новое применение дисперсионного метода Линника

Abstract

Пусть $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ --- две последовательности вещественных чисел с носителями наотрезках $[M,2M]$ и $[N,2N]$, где $M = X^{1/2-\delta}$ и $N = X^{1/2+\delta}$. Мы доказываемсуществование такой постоянной $\delta_{0}$, что мультипликативная свертка$\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ имеет уровень распределения $1/2+\delta-\varepsilon$ (в слабом смысле),если только $0\leqslant \delta<\delta_{0}$, последовательность $\beta_{n}$ являетсяпоследовательностью Зигеля-Вальфиша, и обе последовательности $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ограничены сверху функцией делителей.Наш результат, таким образом, представляет собой общую дисперсионную оценкудля "коротких"\, сумм II типа. Доказательство существенно использует дисперсионный метод Линникаи недавние оценки трилинейных сумм с дробями Клоостермана, принадлежащие Беттин и Чанди.Также мы остановимся на применении полученного результата к проблеме делителей Титчмарша.